Question

已知拋物線l：y=ax²+bx+c（a，b，c均不為0）的頂點為M，與y軸的交點為N，我們稱以N為頂點，對稱軸是y軸且過點M的拋物線為拋物線l的衍生拋物線，直線MN為拋物線l的衍生直線．

（1）如圖，拋物線y=x²﹣2x﹣3的衍生拋物線的解析式是　 　，衍生直線的解析式是　 　；

（2）若一條拋物線的衍生拋物線和衍生直線分別是y=﹣2x²+1和y=﹣2x+1，求這條拋物線的解析式；

（3）如圖，設（1）中的拋物線y=x²﹣2x﹣3的頂點為M，與y軸交點為N，將它的衍生直線MN先繞點N旋轉到與x軸平行，再沿y軸向上平移1個單位得直線n，P是直線n上的動點，是否存在點P，使△POM為直角三角形？若存在，求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=x²﹣2x﹣3過（0，﹣3），

∴設其衍生拋物線為y=ax²﹣3，

∵y=x²﹣2x﹣3=x²﹣2x+1﹣4=（x﹣1）²﹣4，

∴衍生拋物線為y=ax²﹣3過拋物線y=x²﹣2x﹣3的頂點（1，﹣4），

∴﹣4=a•1﹣3，

解得 a=﹣1，

∴衍生拋物線為y=﹣x²﹣3．

設衍生直線為y=kx+b，

∵y=kx+b過（0，﹣3），（1，﹣4），

∴，

∴，

∴衍生直線為y=﹣x﹣3．

（2）∵衍生拋物線和衍生直線兩交點分別為原拋物線與衍生拋物線的頂點，

∴將y=﹣2x²+1和y=﹣2x+1聯立，得，

解得  或 ，

∵衍生拋物線y=﹣2x²+1的頂點為（0，1），

∴原拋物線的頂點為（1，﹣1）．

設原拋物線為y=a（x﹣1）²﹣1，

∵y=a（x﹣1）²﹣1過（0，1），

∴1=a（0﹣1）²﹣1，

解得 a=2，

∴原拋物線為y=2x²﹣4x+1．

（3）∵N（0，﹣3），

∴MN繞點N旋轉到與x軸平行后，解析式為y=﹣3，

∴再沿y軸向上平移1個單位得的直線n解析式為y=﹣2．

設點P坐標為（x，﹣2），

∵O（0，0），M（1，﹣4），

∴OM²=（x_M﹣x_O）²+（y_O﹣y_M）²=1+16=17，

  OP²=（|x_P﹣x_O|）²+（y_O﹣y_P）²=x²+4，

  MP²=（|x_P﹣x_M|）²+（y_P﹣y_M）²=（x﹣1）²+4=x²﹣2x+5．

①當OM²=OP²+MP²時，有17=x²+4+x²﹣2x+5，

解得x=或x=，即P（，﹣2）或P（，﹣2）．

②當OP²=OM²+MP²時，有x²+4=17+x²﹣2x+5，

解得 x=9，即P（9，﹣2）．

③當MP²=OP²+OM²時，有x²﹣2x+5=x²+4+17，

解得 x=﹣8，即P（﹣8，﹣2）．

綜上所述，當P為（，﹣2）或（，﹣2）或（9，﹣2）或（﹣8，﹣2）時，△POM為直角三角形．