Question

（6分）如圖，已知：梯形ABCD中，AD∥BC，E為對角線AC的中點，連結
DE并延長交BC于點F，連結AF．

（1）求證：AD=CF；
（2）在原有條件不變的情況下，當AC滿足條件   ▲ 時（不再增添輔助線），四邊形AFCD成為菱形，

Answer 1

（1）略……………………（4分）；   
（2） AC平分∠BCD 或ＡＣ⊥ＤＦ或AC平分∠FAD…………（2分）  

分析：
（1）∵AD∥BC，∴∠DAE=∠FCE．∠ADE=∠EFC，∵E為AC的中點，∴AE=CE．利用AAS證得△DEA≌△FEC．∴AD=CF；
（2）若四邊形AFCD成為菱形，則應證四邊形AFCD是平行四邊形，因而加一組鄰邊相等即可，如：DA=DC。
解答：
（1）證明：在△DEA和△FEC中，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠FCE，∠ADE=∠EFC．
又∵E為AC的中點，
∴AE=CE，
∴△DEA≌△FEC，
∴AD=CF。
（2）當AC滿足條件ＡＣ⊥ＤＦ時，
證明：∵AD∥BC，
又∵AD=CF，
∴四邊形AFCD為平行四邊形．
又∵ＡＣ⊥ＤＦ，
∴四邊形AFCD為菱形．
點評：本題利用了：（1）兩直線平行，內錯角相等；（2）全等三角形的判定和性質；（3）平行四邊形和菱形的判定。