Question

（2012•樂山）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（m，m），點B的坐標為（n，-n），拋物線經過A、O、B三點，連接OA、OB、AB，線段AB交y軸于點C．已知實數m、n（m＜n）分別是方程x²-2x-3=0的兩根．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P為線段OB上的一個動點（不與點O、B重合），直線PC與拋物線交于D、E兩點（點D在y軸右側），連接OD、BD．
①當△OPC為等腰三角形時，求點P的坐標；
②求△BOD 面積的最大值，并寫出此時點D的坐標．

Answer 1

分析：（1）首先解方程得出A，B兩點的坐標，進而利用待定系數法求出二次函數解析式即可；
（2）①首先求出AB的直線解析式，以及BO解析式，再利用等腰三角形的性質得出當OC=OP時，當OP=PC時，點P在線段OC的中垂線上，當OC=PC時分別求出x的值即可；
②利用S_△BOD=S_△ODQ+S_△BDQ得出關于x的二次函數，進而得出最值即可．

解答：解（1）解方程x²-2x-3=0，
得 x₁=3，x₂=-1．
∵m＜n，
∴m=-1，n=3…（1分）
∴A（-1，-1），B（3，-3）．
∵拋物線過原點，設拋物線的解析式為y=ax²+bx（a≠0）．
∴

-1=a-b -3=9a+3b

解得：

a=- 1 2 b= 1 2

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x2+

1

2

x．…（4分）

（2）①設直線AB的解析式為y=kx+b．
∴

-1=-k+b -3=3k+b.

解得：

k=- 1 2 b=- 3 2

，
∴直線AB的解析式為y=-

1

2

x-

3

2

．
∴C點坐標為（0，-

3

2

）．…（6分）
∵直線OB過點O（0，0），B（3，-3），
∴直線OB的解析式為y=-x．
∵△OPC為等腰三角形，
∴OC=OP或OP=PC或OC=PC．
設P（x，-x），
（i）當OC=OP時，x2+(-x)2=

9

4

．
解得x1=

3 2

4

，x2=-

3 2

4

（舍去）．
∴P₁（

3 2

4

，-

3 2

4

）．
（ii）當OP=PC時，點P在線段OC的中垂線上，
∴P₂（

3

4

，-

3

4

）．
（iii）當OC=PC時，由x2+(-x+

3

2

)2=

9

4

，
解得x1=

3

2

，x₂=0（舍去）．
∴P₃（

3

2

，-

3

2

）．
∴P點坐標為P₁（

3 2

4

，-

3 2

4

）或P₂（

3

4

，-

3

4

）或P₃（

3

2

，-

3

2

）．…（9分）

②過點D作DG⊥x軸，垂足為G，交OB于Q，過B作BH⊥x軸，垂足為H．
設Q（x，-x），D（x，-

1

2

x2+

1

2

x）．
S_△BOD=S_△ODQ+S_△BDQ=

1

2

DQ•OG+

1

2

DQ•GH，
=

1

2

DQ（OG+GH），
=

1

2

[x+(-

1

2

x2+

1

2

x)]×3，
=-

3

4

(x-

3

2

)2+

27

16

，
∵0＜x＜3，
∴當x=

3

2

時，S取得最大值為

27

16

，此時D（

3

2

，-

3

8

）．…（13分）

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及等腰三角形的性質和三角形面積求法等知識，求面積最值經常利用二次函數的最值求法得出．