Question

如圖，射線PG平分∠EPF，O為射線PG上一點，以O為圓心，10為半徑作⊙O，分別與∠EPF的兩邊相交于A、B和C、D，連接OA，此時有OA∥PE．
（1）求證：AP=AO；
（2）若tan∠OPB=

1

2

，求弦AB的長；
（3）若以圖中已標明的點（即P、A、B、C、D、O）構造四邊形，則能構成菱形的四個點為______，能構成等腰梯形的四個點為______或______或______．

Answer 1

（1）證明：∵PG平分∠EPF，
∴∠DPO=∠BPO，
∵OA∥PE，
∴∠DPO=∠POA，
∴∠BPO=∠POA，
∴PA=OA；（2分）

（2）過點O作OH⊥AB于點H，則AH=HB=

1

2

AB，（1分）
∵tan∠OPB=

OH

PH

=

1

2

，∴PH=2OH，（1分）
設OH=x，則PH=2x，
由（1）可知PA=OA=10，∴AH=PH-PA=2x-10，
∵AH²+OH²=OA²，∴（2x-10）²+x²=10²，（1分）
解得x₁=0（不合題意，舍去），x₂=8，
∴AH=6，∴AB=2AH=12；（1分）

（3）P、A、O、C；A、B、D、C或P、A、O、D或P、C、O、B．（2分）
（寫對1個、2個、3個得（1分），寫對4個得2分）