Question

已知拋物線m：y=ax²+2ax+a-1，頂點為A，若將拋物線m繞著點（1，0）旋轉180°后得到拋物線n，頂點為C．
（1）當a=1時．試求拋物線n的頂點C的坐標，再求它的解析式；
（2）在（1）中，請你分別在拋物線m、n上各取一點D、B（除點A、C外），使得四邊形ABCD為平行四邊形（直接寫出所取點的坐標，并至少寫出二種情況）；
（3）設拋物線m的對稱軸與拋物線n的交點為P，且|AP|=6，試求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據旋轉的性質得出拋物線n的方程，將a的值代入拋物線方程中，利用頂點公式即可得出C的坐標；
（2）欲使四邊形ABCD為平行四邊形，利用平行四邊形的性質即可直接得出D和B點的坐標；
（3）先將拋物線的方程化為頂點式，將A的坐標代入，可得出a的值（注意A的值有兩個）．
解答：解：（1）當a=1時，拋物線m的解析式為y=x²+2x，A（-1，-1），
當點A（-1，-1）繞著點（1，0）旋轉180°后所得點C坐標為（3，1），
根據題意，可得拋物線n的解析式為y=-（x-3）²+1，
即y=-x²+6x-8；

（2）如：D（-2，0）與B（4，0）或D（0，0）與B（2，0）或D（-3，3）與B（5，-3）．（答案不唯一）

（3）拋物線n的解析式可表示為y=-a（x-3）²+1，
即y=-ax²+6ax-9a+1，
∵A（-1，-1），當x=-1時，y=-a-6a-9a+1=-16a+1，
∴|-1-（-16a+1）|=6，
當16a-2=6時，16a=8，a=，
當16a-2=-6時，16a=-4，a=，
∴或．
點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定、函數圖象旋轉的性質等知識點，關鍵是要得出旋轉后的函數解析式．