Question

如圖所示，邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD中，有以A為圓心的弧

EF

，⊙O和BC，CD，

EF

都相切，且⊙O的周長(zhǎng)等于

EF

的長(zhǎng)，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：本題的關(guān)鍵是⊙O的周長(zhǎng)等于

EF

的長(zhǎng)，根據(jù)弧長(zhǎng)公式和圓的周長(zhǎng)公式可求得兩半徑的關(guān)系，再利用解直角三角形求得半徑即可．

解答：解：設(shè)

EF

的半徑為R，⊙O半徑為r，則OC=

2

r，
依題意，得

90πR

180

=2πr，
∴R=4r，
∵

EF

與⊙O外切，
∴AO=R+r=5r，
∵正方形的邊長(zhǎng)為a，
∴AC=

2

a，
∵AC=AO+OC，即5r+

2

r=

2

a，
∴r=

1

23

（5

2

-2）a．

點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是⊙O的周長(zhǎng)等于

EF

的長(zhǎng)，由此建立等式求解．