Question

17．合肥某商場(chǎng)要經(jīng)營一種新上市的文具，進(jìn)價(jià)為20元/件．試營銷階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價(jià)為25元/件時(shí)，每天的銷售量是150件；銷售單價(jià)每上漲1元，每天的銷售量就減少10件．
（1）求商場(chǎng)銷售這種文具每天所得的銷售利潤w（元）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求銷售單價(jià)為多少元時(shí)，該文具每天的銷售利潤最大？
（3）現(xiàn)商場(chǎng)規(guī)定該文具每天銷售量不少于120件，為使該文具每天的銷售利潤最大，該文具定價(jià)多少元時(shí)，每天利潤最大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)利潤=（單價(jià)-進(jìn)價(jià)）×銷售量，列出函數(shù)關(guān)系式即可；
（2）根據(jù)（1）式列出的函數(shù)關(guān)系式，運(yùn)用配方法求最大值；
（3）利用二次函數(shù)增減性直接求出最值即可．

解答 解：（1）由題意得，銷售量=150-10（x-25）=-10x+400，
則w=（x-20）（-10x+400）
=-10x²+600x-8000；

（2）w=-10x²+600x-8000=-10（x-30）²+1000．
∵-10＜0，
∴函數(shù)圖象開口向下，w有最大值，
當(dāng)x=30時(shí)，w_max=1000，
故當(dāng)單價(jià)為30元時(shí)，該文具每天的利潤最大；

（3）400-10x≥120，
解得x≤28，
對(duì)稱軸：直線x=30，
開口向下，
當(dāng)x≤30時(shí)，y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x=28時(shí)，w_最大=960元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，難度較大，最大銷售利潤的問題常利函數(shù)的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，其中要注意應(yīng)該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值（或最小值），也就是說二次函數(shù)的最值不一定在x=-$\frac{b}{2a}$時(shí)取得．