Question

數學家高斯在讀小學二年級時，老師出了這樣一道計算題．
1+2+3+4+…+100=高斯很快得出了答案，他的計算方法是
1+2+3+4+…+100=（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（50+51）
=50（1+100）=5050．
（1）請你應用上述方法，求S=1+3+5+…+（2n-1）的計算公式．
（2）如圖

第二個圖是由第一個圖形中的三角形連接三邊中點而得到的，第三個圖是由第二個圖中間一個三角形連接三邊中點得到的，依此類推，分別寫出第二個圖形、第三個圖形和第四個圖形的三角形的個數，由此推測第n個圖形三角形的個數，并求出第一個圖形到第n個圖形的三角形的個數之和．

Answer 1

【答案】分析：（1）等于首尾相加×首尾相加的個數÷2．
（2）第1個圖形的三角形的個數為1．第2個圖形的三角形的個數為1+4=5．第3個圖形的三角形的個數為1+2×4=9．第四個圖形的三角形的個數為1+3×4=13．第n個圖形三角形的個數為1+（n-1）×4=4n-3．n個圖形共有的三角形的個數為：1+5+9+…+4n+3．
解答：解：（1）S=1+3+5+…+（2n-1）
=[1+（2n-1）]+[3+（2n-3）+…+（2n）
=（2n）n÷2=n²

（2）設第一個圖形、第二個圖形、第三個圖形的三角形個數和分別為a₁、a₂、a₃，第n個圖形三角形的個數是a_n．第一個圖形到第n個圖形的三角形個數之和為S，則a₁=1，a₂=5，a₃=9，a_n=4n-3．
S=a₁+a₂+a_n=1+5+9+4n-3
=[1+（4n-3）]+[5+（4n-7）]+（4n-2）
=（4n-2）=n（2n-1）
=2n²-n
點評：本題中等差數列的數相加的規律為：首尾相加×首尾相加的個數÷2．