Question

數(shù)學(xué)家高斯在讀小學(xué)二年級時(shí)，老師出了這樣一道計(jì)算題．
1+2+3+4+…+100=高斯很快得出了答案，他的計(jì)算方法是
1+2+3+4+…+100=（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（50+51）
=50（1+100）=5050．
（1）請你應(yīng)用上述方法，求S=1+3+5+…+（2n-1）的計(jì)算公式．
（2）如圖

第二個(gè)圖是由第一個(gè)圖形中的三角形連接三邊中點(diǎn)而得到的，第三個(gè)圖是由第二個(gè)圖中間一個(gè)三角形連接三邊中點(diǎn)得到的，依此類推，分別寫出第二個(gè)圖形、第三個(gè)圖形和第四個(gè)圖形的三角形的個(gè)數(shù)，由此推測第n個(gè)圖形三角形的個(gè)數(shù)，并求出第一個(gè)圖形到第n個(gè)圖形的三角形的個(gè)數(shù)之和．

Answer 1

解：（1）S=1+3+5+…+（2n-1）
=[1+（2n-1）]+[3+（2n-3）+…+（2n）
=（2n）n÷2=n²

（2）設(shè)第一個(gè)圖形、第二個(gè)圖形、第三個(gè)圖形的三角形個(gè)數(shù)和分別為a₁、a₂、a₃，第n個(gè)圖形三角形的個(gè)數(shù)是a_n．第一個(gè)圖形到第n個(gè)圖形的三角形個(gè)數(shù)之和為S，則a₁=1，a₂=5，a₃=9，a_n=4n-3．
S=a₁+a₂+a_n=1+5+9+4n-3
=[1+（4n-3）]+[5+（4n-7）]+（4n-2）
=（4n-2）=n（2n-1）
=2n²-n
分析：（1）等于首尾相加×首尾相加的個(gè)數(shù)÷2．
（2）第1個(gè)圖形的三角形的個(gè)數(shù)為1．第2個(gè)圖形的三角形的個(gè)數(shù)為1+4=5．第3個(gè)圖形的三角形的個(gè)數(shù)為1+2×4=9．第四個(gè)圖形的三角形的個(gè)數(shù)為1+3×4=13．第n個(gè)圖形三角形的個(gè)數(shù)為1+（n-1）×4=4n-3．n個(gè)圖形共有的三角形的個(gè)數(shù)為：1+5+9+…+4n+3．
點(diǎn)評：本題中等差數(shù)列的數(shù)相加的規(guī)律為：首尾相加×首尾相加的個(gè)數(shù)÷2．