Question

【題目】 如圖，已知AB=4，P為線段AB上的一個動點，分別以AP，PB為邊在AB的同側作菱形APCD和菱形PBFE，點P，C，E在一條直線上，∠DAP=60°．M，N分別是對角線AC，BE的中點．當點P在線段AB上移動時，點M，N之間的距離最短為______．

Answer 1

【答案】

【解析】

連接PM、PN．首先證明∠MPN=90°，要求MN，只要求出兩條直角邊PM、PN，而容易發現菱形產生了等腰三角形，結合題中中點，可用三線合一，我們發現PM、PN都在含有30度的直角三角形中，P是動點，我們只需設出AP的長，用未知數表示PM、PN，進而用勾股定理建立MN關于未知數的表達式，即可解決問題.

解：連接PM、PN．

∵四邊形APCD，四邊形PBFE是菱形，∠DAP=60°，

∴∠APC=120°，∠EPB=60°，

又∵M，N分別是對角線AC，BE的中點，

∴∠CPM=∠APM=∠APC=60°，,∠EPN=∠EPB=30°，

∴∠MPN=∠CPM+∠EPN=60°+30°=90°，

∴

設PA=2a，則PB=4-2a，

∵,∠APM=60°，

∴在直角三角形中，，,

∴PM==a，

同理BN==2-a，

∵在直角三角形PBN中，

∴PN==（2-a），

∴===，

∴a=時，點M，N之間的距離最短，最短距離為，

故答案為．