Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上，O是EG的中點，∠EGC的平分線GH過點D，交BE于點H，連接OH，FH，EG與FH交于點M，對于下面四個結論：①GH⊥BE；②BG＝EG；③△MFG為等腰三角形；④DE：AB＝1＋:1，其中正確結論的序號為_________．

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

證明△BCE≌△DCG，即可證得∠BEC＝∠DGC，然后根據三角形的內角和定理證得∠EHG＝90°，則HG⊥BE，然后證明△BGH≌△EGH，可得BG＝EG，H是BE的中點，則OH是△BGE的中位線，根據三角形的中位線定理即可得到HO＝BG，HO∥BG，以及∠MOH＝∠EGC＝45°，再根據等腰直角三角形的性質，得出OF＝EG，∠OFG＝45°，以及OH＝OF，根據∠MHO＋∠HOM＝∠OFH＋∠OFG，即可得出∠FMG＝∠MFG，最后根據等腰直角三角形的邊角關系，得出DB：AB＝：1，即可得到DE：AB＝：1．

∵正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上，

∴∠BCE＝∠DCG＝90°，BC＝DC，EC＝GC，

∴△BCE≌△DCG（SAS），

∴∠CGD＝∠CEB，

又∵∠CDG＝∠HDE，

∴∠EHD＝∠GCD＝90°，

∴GH⊥BE，故①正確；

∵∠EGC的平分線GH過點D，

∴∠BGH＝∠EGH，

∵GH⊥BE，

∴∠BHG＝∠EHG＝90°，

∵GH=GH，

∴△BGH≌△EGH（ASA），

∴BG＝EG，故②正確；

∵BG＝EG，GH⊥BE，

∴H為BE的中點，

又∵O是EG的中點，

∴HO是△BEG的中位線，

∴HO＝BG，HO∥BG，

∴∠MOH＝∠EGC＝45°，

如圖，連接FO，

∵O是EG的中點，

∴等腰Rt△EFG中，OF＝EG，∠OFG＝45°，

∴OH＝OF，

∴∠OHF＝∠OFH，

∴∠MHO＋∠HOM＝∠OFH＋∠OFG，即∠FMG＝∠MFG，

∴FG＝MG，即△MFG是等腰三角形，故③正確；

如圖，連接BD，

∵HG垂直平分BE，

∴DE＝DB，

∵Rt△ABD中，DB：AB＝：1，

∴DE：AB＝：1，故④錯誤；

故答案為：①②③