Question

【題目】函數上的定點是指，一個含參數的函數無論參數取何值，函數的圖象都過某一個點，這個點稱為定點．例如，在函數y＝kx中，當x＝0時，無論參數k取何值，函數值y＝0，所以這個函數過定點（0，0）．

（1）分別求函數y＝kx+2k和y＝kx2﹣kx+2019的定點；

（2）若過原點的兩條直線OA、OB分別與二次函數y＝x2交于點A（m，m2）和點B（n，n2）（mn＜0）且OA⊥OB，試求直線AB上的定點；

（3）若直線CD：y＝kx+2k+5與拋物線y＝x2交于C、D兩點，試在拋物線y＝x2上找一定點E，使∠CED＝90°，求點E的坐標，并求出點E到直線CD的最大距離．

Answer 1

【答案】（1）定點（﹣2，0）；定點（1，2019）、（0，2019）；（2）定點為E（2，4）；

【解析】

（1）y＝kx+2k＝k（x+2），當x＝﹣2時，y＝0，故過定點（﹣2，0），即可求解；

（2）直線AB的表達式為： ，則tan∠AOM＝tan∠OBM，即： ，解得 ，故直線AB的表達式為： ，當x＝0時，y＝﹣2，故直線AB過點（0，﹣2）；

（3）直線CD的表達為：y＝（m+n）x﹣mn，則m+n＝k，mn＝﹣2k﹣5，tan∠CEM＝tan∠EDN，即：t2+（m+n）t+mn＝﹣1，即：t2﹣4+（t﹣2）k＝0，即可求解．

解：（1）y＝kx+2k＝k（x+2），當x＝﹣2時，y＝0，故過定點（﹣2，0）；

y＝kx2﹣kx+2019＝ ，當x＝0或1時，y＝2019，故過定點（1，2019）、（0，2019）；

（2）將點A、B的坐標代入一次函數表達式：y＝kx+b并解得：

直線AB的表達式為：

分別過點A、B作x軸的垂線于點M、N，則∠AOM＝∠OBN，

則tan∠AOM＝tan∠OBN，即： ，解得：

故直線AB的表達式為： ，當x＝0時，y＝2，

故直線AB過點（0，2）；

（3）設點C、D的坐標分別為：（m，m2）、（n，n2），

同理可得：直線CD的表達為：

則m+n＝k，mn＝﹣2k﹣5，

設點E（t，t2），

同理可得：tan∠CEM＝tan∠EDN，即：

化簡得：t2+（m+n）t+mn＝﹣1，

即：t2﹣4+（t﹣2）k＝0，

當t＝2時，上式橫成立，

故定點為E（2，4）；

直線CD：y＝kx+2k+5過定點H（﹣2，5），

∵點到直線的距離≤EH，

故點E到直線的最大距離為