Question

【題目】如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC＝90°，BD＝BA，BE⊥DC交DC的延長線于點E．

（1）若∠BAD＝70°，則∠BCA＝　 　°；

（2）若AB＝12，BC＝5，求DE的長：

（3）求證：BE是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】（1）70；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質、圓周角定理解答；

（2）根據勾股定理求出AC，證明△DEB∽△ABC，根據相似三角形的性質列出比例式，代入計算，得到答案；

（3）連接OB，根據圓內接四邊形的性質、圓周角定理、平行線的性質得到OB∥DE，根據平行線的性質得到BE⊥OB，根據切線的判定定理證明結論．

（1）解：∵BD＝BA，

∴∠BDA＝∠BAD＝70°，

由圓周角定理得，∠BCA＝∠BDA＝70°，

故答案為：70；

（2）解：在Rt△ABC中，AC＝＝13，

∠BDE＝∠BAC，∠BED＝∠CBA＝90°，

∴△DEB∽△ABC，

∴，即，

解得，DE＝；

（3）證明：連接OB，

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，

∵四邊形ABCD內接于⊙O，

∴∠BAD+∠BCD＝180°，

∵∠BCE+∠BCD＝180°，

∴∠BCE＝∠BAD，

∵BD＝BA，

∴∠BDA＝∠BAD，

∵∠BDA＝∠ACB，

∴∠ACB＝∠BAD，

∴∠OBC＝∠BCE，

∴OB∥DE，

∵BE⊥DC，

∴BE⊥OB，

∴BE是⊙O的切線．