Question

【題目】已知：正方形的邊長為厘米，對角線上的兩個動點，．點從點，點從點同時出發，沿對角線以厘米/秒的相同速度運動，過作交的直角邊于，過作交的直角邊于，連接，．設、、、圍成的圖形面積為，，，圍成的圖形面積為（這里規定：線段的面積為到達，到達停止．若的運動時間為秒，解答下列問題：

如圖，判斷四邊形是什么四邊形，并證明；

當時，求為何值時，；

若是與的和，試用的代數式表示．（如圖為備用圖）

Answer 1

【答案】四邊形是矩形，理由見解析；當時，；．

【解析】

（1）根據題意可得AE=CF=x，再證明四邊形是平行四邊形，根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形即可證得結論；（2）由勾股定理求出正方形ABCD的對角線長為16．連接BD交AC于O，可得BO=8．用含x的代數式分別表示S1、 S2，當S1=S2時得出關于x的方程，解方程即可求解；（3）分0≤x＜8與8≤x≤16兩種情況求解即可．

四邊形是矩形．理由如下：

∵點從點，點從點同時出發，沿對角線以厘米/秒的相同速度運動，

∴．

∵，，

∴．

∵為正方形，

∴，，，

又∵，，

∴，

∴，，

∴，，∴，

∴四邊形是平行四邊形，

又∵

∴平行四邊形是矩形；

∵正方形邊長為，

∴．

∵，連接交于，則且，

∴．

∵，

∴，

∴．

當時，，

解得（舍去），．

∴當時，；

①當時，．

②當時，，，．

∴．

∴．

綜上，可知．