Question

在△ABC中，已知∠CAB=60°，D，E分別是邊AB，AC上的點，且∠AED=60°，ED+DB=CE，∠CDB=2∠CDE，則∠DCB=（ ）
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°

Answer 1

【答案】分析：此題要通過構造全等三角形來解；過B作DE的平行線，交AC于F；由于∠AED=∠CAB=60°，因此△ADE是等邊三角形，則∠BDE=120°，聯立∠CDB、∠CDE的倍數關系，即可求得∠CDE的度數；然后通過證△EDC≌△FCB，得到∠CDE=∠DCB+∠DCE，聯立由三角形的外角性質得到的∠CDE+∠DCE=∠ADE=60°，即可求得∠DCB的度數．
解答：解：∠CAB=60°，∠AED=60°，
∴△ADE是正三角形．
作BF∥DE交AC于F，
∴△ABF∽△ADE，
∴△ABF是等邊三角形，
則BD=EF，
從而EC=DE+BD=AB=BF，DE=FC，
又∠1=∠2=120°，
∴△EDC≌△FCB，
∴θ+x=φ；
∵∠CDB=2φ，∠BDE=120°，
∴φ=40°，
θ+x=40°；
∵θ+φ=θ+40°=60°
∴θ=20°，
得：x=20°．
故選B．
點評：此題考查了全等三角形的判定和性質、三角形的外角性質等知識，正確畫出圖形，并構造出全等三角形是解決問題的關鍵．