Question

已知二次函數y=2x²-（m+1）x+m-1．
（1）求證：無論m為何值，函數y的圖象與x軸總有交點．并指出當m為何值時，函數y的圖象與x軸只有一個交點？
（2）當m為何值時，函數y的圖象過原點？并求出此時圖象與x軸的另一交點的坐標；
（3）如果函數y的圖象的頂點在第四象限，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）
△=b²-4ac，
=[-（m+1）]²-4×2×（m-1），
=（m-3）²≥0，
故無論m為何值，函數y的圖象與x軸總有交點，
當m=3時，（m-3）²=0，
即△=0，故函數y的圖象與x軸只有一個交點；

（2）當圖象過原點即圖象過（0，0）點；故0=m-1，
解得：m=1，
當m=1時，函數y的圖象過原點，
故此函數解析式為；y=2x²-2x=2x（x-1），
當y=0，0=2x（x-1），
解得：x=0或1，
則圖象與x軸的另一交點的坐標為（1，0）；

（3）∵y=2x²-（m+1）x+m-1，
=2（x²-x）+m-1，
=2[（x-）²-（）²]+m-1，
=2（x-）²-，
∴圖象的頂點坐標為：（，-），
∵函數y的圖象的頂點在第四象限，
∴，
解得；m＞-1且m≠3，
故m的取值范圍為m＞-1且m≠3．
分析：（1）根據△=b²-4ac的符號求出無論m為何值，函數y的圖象與x軸總有交點，進而得出m=3時，函數y的圖象與x軸只有一個交點；
（2）當函數圖象過原點時，m²-1=0，即可求出m的值，進而可求出拋物線的解析式，然后根據拋物線的解析式即可得出二次函數與x軸的另一交點的坐標；
（3）先用配方法求出二次函數的頂點坐標，然后讓縱坐標大于0，縱坐標小于0即可求出m的取值范圍．
點評：此題主要考查了二次函數的性質等知識點，將二次函數的解析式化為頂點式進行求解是解題的基本思路