Question

25、（1）如圖所示，分別以四邊形的四個頂點為圓心，半徑R作圓（這些圓互不相交），把這些圓與四邊形的公共部分（即圓中陰影部分）剪下來拼在一起，你有何發現？試用有關數學知識進行解釋．
（2）若將（1）中的四邊形換成五邊形，則陰影部分的面積為多少？若換成六邊形呢？若換成n邊形呢？

Answer 1

分析：（1）如圖，可根據多邊形內角與外角的知識來解答．圖中圓與四邊形的公共部分恰好能組成一個新的圓，因為扇面的半徑相等且圓心角的度數為360°，不難解答．
（2）換成五邊形，也是1.5個圓．因為扇面半徑是相等的，故換成五邊形的陰影部分面積也是1.5πR²．

解答：解：（1）圓與四邊形的公共部分（即圓中陰影部分）剪下來拼在一起，恰好拼成一個圓面．因為剪下來的這些扇形半徑相等，且圓心角的度數和為四邊形的內角和360°，所以圓與四邊形的公共部分（即圓中陰影部分）剪下來拼在一起，恰好拼成一個圓面．
（2）若將（1）中的四邊形換成五邊形，圓與四邊形的公共部分（即圓中陰影部分）剪下來拼在一起，恰好拼成1.5個圓面，則陰影部分的面積為1.5πR²，若換成六邊形和換成n邊形，陰影部分的面積都為2πR²．

點評：本題考查的是多邊形內角與外角的知識，難度屬中等，只要找準規律不難解答．