Question

25、如圖，點O是等邊△ABC內一點．將△BOC繞點C按逆時針方向旋轉60°得△ADC，連接OD．已知∠AOB=110°．
（1）求證：△COD是等邊三角形；
（2）當α=150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；
（3）探究：當α為多少度時，△AOD是等腰三角形．

Answer 1

分析：此題有一定的開放性，要找到變化中的不變量才能有效解決問題．

解答：證明：（1）∵CO=CD，∠OCD=60°，
∴△COD是等邊三角形；（3分）

（2）解：當α=150°，即∠BOC=150°時，△AOD是直角三角形．（5分）
∵△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=150°，
又∵△COD是等邊三角形，
∴∠ODC=60°，
∴∠ADO=90°，
即△AOD是直角三角形；（7分）

（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO．
∵∠AOD=360°-∠AOB-∠COD-α=360°-110°-60°-α=190°-α，∠ADO=α-60°，
∴190°-α=α-60°
∴α=125°；

②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．
∵∠AOD=190°-α，∠ADO=α-60°，
∵∠OAD=180°-（∠AOD+∠ADO）=50°，
∴α-60°=50°
∴α=110°；

③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．
∵190°-α=50°
∴α=140°．
綜上所述：當α的度數為125°，或110°，或140°時，△ABC是等腰三角形．（12分）
說明：第（3）小題考生答對1種得（2分），答對2種得（4分）．

點評：本題以“空間與圖形”中的核心知識（如等邊三角形的性質、全等三角形的性質與證明、直角三角形的判定、多邊形內角和等）為載體，內容由淺入深，層層遞進．試題中幾何演繹推理的難度適宜，蘊含著豐富的思想方法（如運動變化、數形結合、分類討論、方程思想等），能較好地考查學生的推理、探究及解決問題的能力．