Question

21、（1）證明：奇數的平方被8除余1．
（2）請你進一步證明：2006不能表示為10個奇數的平方之和．

Answer 1

分析：（1）設奇數為（2n+1）（n≥0，n為整數），算出其平方，進一步利用分析解答即可；
（2）利用（1）的結論，把2006和10個奇數的平方之和都除以8，計算余數即可判定．

解答：解：設奇數為（2n+1）（n≥0，n為整數），則（2n+1）²=4n²+4n+1，
只要證得8能整除（4n²+4n）即可，
顯然4能整除（4n²+4n），而n²與n奇偶性相同，所以2能整除（n²+n），
因此8能整除（4n²+4n），所以可以得出（4n²+4n+1）被8除余1，
即奇數的平方被8除余1．
（2）由（1）可知10個奇數的平方之和被8除余數為2，
2006除以8余數為6，兩數被8除余數不同，
也就證明2006不能表示為10個奇數的平方之和．

點評：此題主要利用整除數的性質，數的奇偶性以及有余數的除法解決問題．