Question

如圖，一條直線與反比例函數(shù)的圖象交于A（1，4）B（4，n）兩點，與軸交于D點，AC⊥軸，垂足為C．

⑴如圖甲，①求反比例函數(shù)的解析式；②求n的值及D點坐標；
⑵如圖乙，若點E在線段AD上運動，連結(jié)CE，作∠CEF=45°，EF交AC于F點．試說明△CDE∽△EAF；

Answer 1

①    ② D（5，0） 
（2）△CDE和△EAF的兩角對應相等，∴△CDE∽△EAF．

試題分析：解：（1）①∵點A（1，4）在反比例函數(shù)圖象上
∴k=4即反比例函數(shù)關(guān)系式為y=；
②∵點B（4，n）在反比例函數(shù)圖象上∴n=1
設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=mx+b
∵點A（1，4）和B（4，1）在一次函數(shù)y=mx+b的圖象上
∴所以得解得m=-1，=5
∴一次函數(shù)關(guān)系式為y=-x+5
令y=0，得x=5∴D點坐標為D（5，0）；
（2）①證明：∵A（1，4），D（5，0），AC⊥x軸
∴C（1，0）
∴AC=CD=4，
即∠ADC=∠CAD=45°，
∵∠AEC=∠ECD+∠ADC=∠ECD+45°，
∠AEC=∠AEF+∠FEC=∠AEF+45°，∴∠ECD=∠AEF，
△ CDE和△EAF的兩角對應相等，∴△CDE∽△EAF．

點評：本題難度中等，主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；同時考查了兩三角形相似的條件．