Question

【題目】已知：△ABC中AB=AC，M為底邊BC上任意一點，過點M分別作AB、AC的平行線交AC于P，交AB于Q.

探究:（1）線段QM、PM、AB之間有什么關系？并說明你的理由.

（2）當M位于BC的什么位置時, 四邊形AQMP是菱形？并說明你的理由.

（3）當△ABC滿足什么條件菱形AQMP是正方形？

Answer 1

【答案】（1）AB=QM+PM，證明見解析；（2）當M為底邊BC的中點時,四邊形AQMP為菱形，證明見解析；（3）當∠A＝90°時, 菱形AQMP為正方形.

【解析】（1）根據平行四邊形的判定得出平行四邊形AQMP，求出BQ＝MQ即可；

（2）求出AQ＝QM，根據菱形的判定推出即可；

（3）根據有一個角是直角的菱形是正方形求解即可.

（1）AB=QM+PM

證明：∵PM‖AB,QM‖AC

∴四邊形AQMP為平行四邊形

∴PM＝AQ

∵QM‖AC

∴∠C=∠QMB

∵AB=AC

∴∠C=∠B

∴∠B=∠QMB

∴BQ=MQ

∵AB=AQ+BQ

∴AB=QM+PM

（2）當M為底邊BC的中點時,四邊形AQMP為菱形

證明：連接AM

∵M為底邊BC的中點，AB=AC

∴∠BAM＝∠MAC

∵PM‖AB

∴∠BAM＝∠AMP

∴∠MAC＝∠AMP

∴PA＝PM

∴平行四邊形AQMP為菱形

(3)當∠A＝90°時, 菱形AQMP為正方形

由（2）知，四邊形AQMP為菱形，

∵∠A＝90°，

∴菱形AQMP為正方形.