Question

【題目】對于平面直角坐標系xOy中的圖形W1和圖形W2．給出如下定義：在圖形W1上存在兩點A，B（點A，B可以重合），在圖形W2上存在兩點M，N，（點M于點N可以重合）使得AM=2BN，則稱圖形W1和圖形W2滿足限距關系

(1)如圖1，點C(1，0)，D(-1，0)，E(0，)，點P在線段DE上運動(點P可以與點D，E重合)，連接OP，CP．

①線段OP的最小值為_______，最大值為_______；線段CP的取值范直范圍是_____；

②在點O，點C中，點____________與線段DE滿足限距關系；

(2)如圖2，⊙O的半徑為1，直線(b>0)與x軸、y軸分別交于點F，G．若線段FG與⊙O滿足限距關系，求b的取值范圍；

(3)⊙O的半徑為r(r>0)，點H，K是⊙O上的兩個點，分別以H，K為圓心，1為半徑作圓得到⊙H和K，若對于任意點H，K，⊙H和⊙K都滿足限距關系，直接寫出r的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①，，，②O；（2）；（3）0＜r≤3．

【解析】

（1）①根據垂線段最短以及已知條件，確定OP，CP的最大值，最小值即可解決問題．②根據限距關系的定義判斷即可．

（2）直線與x軸、y軸分別交于點F，G（0，b），分三種情形：①線段FG在⊙O內部，②線段FG與⊙O有交點，③線段FG 與⊙O沒有交點，分別構建不等式求解即可．

（3）如圖3中，不妨設⊙K，⊙H的圓心在x軸上位于y軸的兩側，根據⊙H和⊙K都滿足限距關系，構建不等式求解即可．

（1）①如圖1中，

∵D（-1，0），E(0，)，

∴OD=1，，

∴，

∴∠EDO=60°，

當OP⊥DE時，，此時OP的值最小，

當點P與E重合時，OP的值最大，最大值為，

當CP⊥DE時，CP的值最小，最小值，

當點P與D或E重合時，PC的值最大，最大值為2，

故答案為：，，.

②根據限距關系的定義可知，線段DE上存在兩點M，N，滿足OM=2ON，

故點O與線段DE滿足限距關系．

故答案為O．

（2）直線與x軸、y軸分別交于點F，G（0，b），

當0＜b＜1時，線段FG在⊙O內部，與⊙O無公共點，

此時⊙O上的點到線段FG的最小距離為1-b，最大距離為1+b，

∵線段FG與⊙O滿足限距關系，

∴1+b≥2（1-b），

解得，

∴b的取值范圍為．

當1≤b≤2時，線段FG與⊙O有公共點，線段FG與⊙O滿足限距關系，

當b＞2時，線段FG在⊙O的外部，與⊙O沒有公共點，

此時⊙O上的點到線段FG的最小距離為，最大距離為b+1，

∵線段FG與⊙O滿足限距關系，

∴，

而總成立，

∴b＞2時，線段FG 與⊙O滿足限距關系，綜上所述，b的取值范圍為．

（3）如圖3中，不妨設⊙K，⊙H的圓心在x軸上位于y軸的兩側，

兩圓的距離的最小值為2r-2，最大值為2r+2，

∵⊙H和⊙K都滿足限距關系，

∴2r+2≥2（2r-2），

解得r≤3，

故r的取值范圍為0＜r≤3．