Question

如圖所示，過線段AB的兩個端點作射線AM、BN，使AM∥BN，∠MAB和∠NBA的平分線交于點E，過點E作一直線垂直于AM，垂足為點D，交BN于點C．
（1）觀察DE、EC，你有什么發現？請證明你的結論；
（2）請你再研究AD+BC與AB的關系，并給予證明．

Answer 1

分析：（1）過點E作EF⊥AB于F，先求出CD⊥BN，再根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得DE=EF，EC=EF，從而得證；
（2）利用“HL”證明△ADE和△AFE全等，根據全等三角形對應邊相等可得AD=AF，同理可得BC=BF，再根據AB=AF+BF證明即可．

解答：解：（1）∵AM∥BN，CD⊥AM，
∴CD⊥BN，
∵AE是∠MAB的平分線，
∴DE=EF，
同理可得EC=EF，
∴DE=EC；

（2）在△ADE和△AFE中，

AE=AE DE=EF

，
∴△ADE≌△AFE（HL），
∴AD=AF，
同理可得BC=BF，
∵AB=AF+BF，
∴AD+BC=AB．

點評：本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，全等三角形的判定與性質，熟記性質并作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．