Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD的對角線交于點O，以OD，CD為鄰邊作平行四邊形DOEC，OE交BC于點F，連結BE．

（1）求證：F為BC中點．

（2）若OB⊥AC，OF＝1，求平行四邊形ABCD的周長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）平行四邊形ABCD的周長為8．

【解析】

（1）先證明OB=OD，再證得EC//OD，EC=OD，進而得到OB//EC，OB=EC，說明四邊形OBEC為平行四邊形，最后根據平行四邊形的性質即可證明；

（2）先證明四邊形ABCD平行四邊形，再證明平行四邊形DOEC是矩形，求得BC，即可求得菱形ABCD的周長．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OB＝OD，

∵四邊形DOEC為平行四邊形，

∴OD∥EC，OD＝EC，

∴EC∥OB，EC＝OB，

∴四邊形OBEC為平行四邊形，

∴BF＝CF，即F為BC中點；

（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，OB⊥AC，

∴四邊形ABCD是菱形，

∵四邊形OBEC為平行四邊形，OB⊥AC，

∴四邊形OBEC為矩形，

∴BC＝OE＝2OF，

∵OF＝1，

∴BC＝2，

∴平行四邊形ABCD的周長＝4BC＝8．