Question

【題目】閱讀材料，我們給出如下定義：若一個四邊形中存在一組對邊的平方和等于另一組對邊的平方和，則稱這個四邊形為等平方和四邊形．

（1）寫出一個你所學過的特殊四邊形中是等平方和四邊形的圖形的名稱： ．

（2）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，垂足為O．

求證：，即四邊形ABCD是等平方和四邊形．

Answer 1

【答案】（1）矩形、正方形、對角線互相垂直的等腰梯形；（2）見解析；

【解析】

(1)據題中定義，只要鄰邊相等的平行四邊形即符合要求，則菱形或正方形都符合要求．

(2)根據AC⊥BD和勾股定理易證得AD2+BC2=AB2+DC2即四邊形ABCD是等平方和四邊形．

（1）矩形、正方形、對角線互相垂直的等腰梯形.

（2）證明：

∵ACBD,

∴AOD=AOB=BOC=COD=,

在中，由勾股定理得,

OA2+ OD2=AD2 ,

同理可得：

OB2+ OC2=BC2 ,

OA2+ OB2=AB2 ,

OD2+ OC2=CD2 ,

∴ AD2+ BC2 =AB2+ DC2 ,

即四邊形ABCD是等平方和四邊形.