Question

已知：△ABC是邊長為4的等邊三角形，點O在邊AB上，⊙O過點B且分別與邊AB，BC相交于點D，E，EF⊥AC，垂足為F．
（1）求證：直線EF是⊙O的切線；
（2）當直線DF與⊙O相切時，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明：連接OE．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°；
在△BOE中，OB=OE，∠B=60°，
∴∠B=∠OEB=∠BOE=60°，
∴∠BOE=∠A=60°，
∴OE∥AC（同位角相等，兩直線平行）；
∵EF⊥AC，
∴OE⊥EF，即直線EF是⊙O的切線；

（2）連接DF．
∵DF與⊙O相切，
∴∠ADF=90°．
設⊙O的半徑是r，則EB=r，EC=4-r，AD=4-2r．
在Rt△ADF中，∠A=60°，
∴AF=2AD=8-4r．
∴FC=4r-4；
在Rt△CEF中，∵∠C=60°，∴EC=2FC，
∴4-r=2（4r-4），
解得，r=

4

3

；
∴⊙O的半徑是

4

3

．