Question

如圖，△ABC內接于⊙O，AB為⊙O的直徑，∠BAC=2∠B，AC=6，過點A作⊙O的切線與OC的延長線交于點P，求PA的長．

Answer 1

分析：根據AB是圓的直徑，則△ABC是直角三角形，根據∠BAC=2∠B即可求得∠BAC的度數，證得△OAC是等邊三角形．再根據PA是圓的切線，可以證得∠P=30°，則可求得OP的長，在直角△OAP中，利用勾股定理即可求得PA的長．

解答：解：∵AB為⊙O的直徑
∴∠ACB=90°
∴∠B+∠BAC=90°
又∵∠BAC=2∠B
∴∠B=30°，∠BAC=60°
∵OA=OC
∴△OAC是等邊三角形．
∴OA=AC=6，∠AOC=60°
∵AP是⊙O的切線．
∴∠OAP=90°
∴在直角△OAP中，∠P=90°-∠AOC=90°-60°=30°
∴OP=2OA=2×6=12，
∴PA=

OP2-OA2

=

122-62

=6

3

．

點評：本題主要考查了切線的性質定理，勾股定理以及直角三角形中，30度的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半，正確證明△AOC是等邊三角形是解決本題的關鍵．