Question

如圖，ABCD是邊長為a的正方形，以A為圓心，AD為半徑的圓弧與以CD為直徑的半圓交于另一點P，過P作⊙A的切線分別交BC、CD于M、N兩點，則

PM

PN

=

2

3

．

Answer 1

分析：如圖，連接AN、DP、AP，證明DP垂直于AN，根據相交兩圓性質，N在連心線上，所以N為圓心，從而在△MNC中，利用勾股定理求解．

解答：解：如圖，連接AN、DP、AP．
∵AP=AD，
∴△APD是等腰三角形；
又∵MN是⊙A的切線，AD⊥DN，
∴∠PAN=∠DAN；
∴AN⊥PD；
而點A圓心，N在連心線上，
∴點N是圓心，
∴ND=NC=

a

2

；
∵MN是⊙A的切線，AB⊥BM，
∴BM=PM；
同理，DN=PN；
∴在直角三角形MNC中，（PM+PN）²=CM²+CN²，即（BM+

a

2

）²=（a-BM）²+（

a

2

）²，
解得，BM=

a

3

，
∴

PM

PN

=

BM

DN

=

a 3

a 2

=

2

3

；
故答案是：

2

3

．

點評：本題考查了切線的定理、兩相交圓的性質以及勾股定理．解答該題的關鍵是證明N是CD的中點．