Question

（2009•黃石）如圖，△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．
（1）探究：線段OE與OF的數量關系并加以證明；
（2）當點O在邊AC上運動時，四邊形BCFE會是菱形嗎？若是，請證明；若不是，則說明理由；
（3）當點O運動到何處，且△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？

Answer 1

【答案】分析：（1）利用平行線的性質由角相等得出邊相等；
（2）假設四邊形BCFE，再證明與在同一平面內過同一點有且只有一條直線與已知直線垂直相矛盾；
（3）利用平行四邊形及等腰直角三角形的性質證明四邊形AECF是正方形．
解答：解：（1）OE=OF．
證明如下：
∵CE是∠ACB的平分線，
∴∠1=∠2．
∵MN∥BC，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠3．
∴OE=OC．
同理可證OC=OF．
∴OE=OF．（3分）

（2）四邊形BCFE不可能是菱形，若BCFE為菱形，則BF⊥EC，
而由（1）可知FC⊥EC，在平面內過同一點F不可能有兩條直線同垂直于一條直線．（3分）

（3）當點O運動到AC中點時，且△ABC是直角三角形（∠ACB=90°）時，四邊形AECF是正方形．
理由如下：
∵O為AC中點，
∴OA=OC，
∵由（1）知OE=OF，
∴四邊形AECF為平行四邊形；
∵∠1=∠2，∠4=∠5，∠1+∠2+∠4+∠5=180°，
∴∠2+∠5=90°，即∠ECF=90°，
∴?AECF為矩形，
又∵AC⊥EF．
∴?AECF是正方形．
∴當點O為AC中點且△ABC是以∠ACB為直角三角形時，四邊形AECF是正方形．（3分）
點評：本題考查的是平行線、角平分線、正方形、平行四邊形的性質與判定，涉及面較廣，在解答此類題目時要注意角的運用，一般通過角判定一些三角形，多邊形的形狀，需同學們熟練掌握．