Question

（2013•杭州）已知拋物線y₁=ax²+bx+c（a≠0）與x軸相交于點A，B（點A，B在原點O兩側），與y軸相交于點C，且點A，C在一次函數y₂=

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x+n的圖象上，線段AB長為16，線段OC長為8，當y₁隨著x的增大而減小時，求自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：根據OC的長度確定出n的值為8或-8，然后分①n=8時求出點A的坐標，然后確定拋物線開口方向向下并求出點B的坐標，再求出拋物線的對稱軸解析式，然后根據二次函數的增減性求出x的取值范圍；②n=-8時求出點A的坐標，然后確定拋物線開口方向向上并求出點B的坐標，再求出拋物線的對稱軸解析式，然后根據二次函數的增減性求出x的取值范圍．

解答：解：根據OC長為8可得一次函數中的n的值為8或-8．
分類討論：①n=8時，易得A（-6，0）如圖1，
∵拋物線經過點A、C，且與x軸交點A、B在原點的兩側，
∴拋物線開口向下，則a＜0，
∵AB=16，且A（-6，0），
∴B（10，0），而A、B關于對稱軸對稱，
∴對稱軸直線x=

-6+10

2

=2，
要使y₁隨著x的增大而減小，且a＜0，
∴x≥2；

②n=-8時，易得A（6，0），如圖2，
∵拋物線過A、C兩點，且與x軸交點A，B在原點兩側，
∴拋物線開口向上，則a＞0，
∵AB=16，且A（6，0），
∴B（-10，0），而A、B關于對稱軸對稱，
∴對稱軸直線x=

6-10

2

=-2，
要使y₁隨著x的增大而減小，且a＞0，
∴x≤-2．

點評：本題考查了二次函數的性質，主要利用了一次函數圖象上的點的坐標特征，二次函數的增減性，難點在于要分情況討論．