Question

設正n邊形的半徑為R，邊長為a_n，邊心距為r_n，則它們之間的數量關系是________．這個正n邊形的面積S_n=________．

Answer 1

a_n=2Rsin，r_n=Rcos    2nR²sincos
分析：先根據題意畫出圖形，根據正n邊形的半徑為R，得出圓的半徑為R，由垂徑定理及銳角三角函數的定義即可求解．
解答：解：如圖所示，過點O作OF⊥AB于點F交圓O于點E，
設正n邊形的半徑為R，則圓的半徑為R，
∵∠AOF==，
∴AB=2AF=2Rsin；
同理，∵∠ODE==，
∴OF=Rcos，
∴邊長為a_n=2Rsin，
邊心距為r_n=Rcos，則它們之間的數量關系是：a_n=2Rsin，r_n=Rcos，
正n邊形的面積S_n=n•2Rsin×Rcos=2nR²sincos．
故答案為：a_n=2Rsin，r_n=Rcos，2nR²sincos．
點評：本題考查的是正多邊形和圓、垂徑定理及銳角三角函數的定義，根據題意畫出圖形，利用數形結合是解答此題的關鍵．