Question

設正n邊形的半徑為R，邊長為a_n，邊心距為r_n，則它們之間的數量關系是

a_n=2Rsin

180°

n

，r_n=Rcos

180°

n

．這個正n邊形的面積S_n=

2nR²sin

180°

n

cos

180°

n

．

Answer 1

分析：先根據題意畫出圖形，根據正n邊形的半徑為R，得出圓的半徑為R，由垂徑定理及銳角三角函數的定義即可求解．

解答：解：如圖所示，過點O作OF⊥AB于點F交圓O于點E，
設正n邊形的半徑為R，則圓的半徑為R，
∵∠AOF=

360°

2n

=

180°

n

，
∴AB=2AF=2Rsin

180°

n

；
同理，∵∠ODE=

360°

2n

=

180°

n

，
∴OF=Rcos

180°

n

，
∴邊長為a_n=2Rsin

180°

n

，
邊心距為r_n=Rcos

180°

n

，則它們之間的數量關系是：a_n=2Rsin

180°

n

，r_n=Rcos

180°

n

，
正n邊形的面積S_n=n•2Rsin

180°

n

×Rcos

180°

n

=2nR²sin

180°

n

cos

180°

n

．
故答案為：a_n=2Rsin

180°

n

，r_n=Rcos

180°

n

，2nR²sin

180°

n

cos

180°

n

．

點評：本題考查的是正多邊形和圓、垂徑定理及銳角三角函數的定義，根據題意畫出圖形，利用數形結合是解答此題的關鍵．