Question

如圖，⊙O的半徑OA與OB互相垂直，P是線段OB延長線上的一點，連接AP交⊙O于點D，點E在OP上且DE=EP．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）作DH⊥OP于點H，若HE=6，DE=4，求⊙O的半徑的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用等腰三角形的性質首先得出∠2=∠P，∠A=∠1，再利用∠A+∠P=90°，得出∠1+∠2=90°即可得出OD⊥DE，即可證出；
（2）首先利用cos∠3==即可求出∠3=30°，再利用在Rt△ODE中，tan∠3=，即可求出⊙O的半徑OD．
解答：（1）證明：連接OD．
∵OA=OD，
∴∠A=∠1．
∵DE=EP，
∴∠2=∠P．
∵OA⊥OB于O，
∴∠A+∠P=90°．
∴∠1+∠2=90°．
∴∠ODE=90°．
即 OD⊥DE．
∵OD是⊙O的半徑，
∴DE是⊙O的切線．

（2）解：∵DH⊥OP于點H，
∴∠DHE=90°．
∵HE=6，DE=4，
∴cos∠3===．
∴∠3=30°
∵在Rt△ODE中，tan∠3=，
∴=．
∴OD=4．
即⊙O的半徑為4．
點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及切線的判定和銳角三角函數(shù)應用，利用等腰三角形的性質得出∠2=∠P，∠A=∠1是解題關鍵．