Question

（1999•溫州）已知x₁，x₂是關于工的方程x²-3x+m=0兩個不相等的實數根，設S=x₁²+x₂²．
（1）求S關于m的函數解析式，并求自變量m的取值范圍；
（2）當函數值S=7時，求x₁³+8x₂的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由根與系數的關系可得出x₁+x₂、x₁x₂的值，再將S的表達式配成完全平方式，再將x₁+x₂、x₁x₂的值整體代入，即可得出S、m的函數關系式；m的取值范圍可由根的判別式得出；
（2）首先可求出S=7時，m的值；然后將所求代數式進行拆分，再將此時x₁+x₂，x₁x₂的值代入求解．
解答：解：（1）由題意，得：x₁+x₂=3，x₁x₂=m；
∴S=x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=9-2m；
由于原方程有兩個不相等的實數根，故△=9-4m＞0，即m＜；
即S=9-2m（m＜）；
（2）當S=7時，9-2m=7，即m=1；
此時x₁+x₂=3，x₁x₂=1；
∴x₁³+8x₂=x₁³+（x₁²+x₂²+x₁x₂）x₂
=x₁³+x₁²x₂+x₂³+x₁x₂²
=x₁³+x₂³+x₁+x₂
=（x₁+x₂）（x₁²-x₁x₂+x₂²）+x₁+x₂
=（x₁+x₂）（x₁²+x₂²-x₁x₂+1）
=3×（7-1+1）=21．
點評：此題主要考查了根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．