Question

（2005•煙臺）（1）如圖1，以△ABC的邊AB、AC為邊分別向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接EG，試判斷△ABC與△AEG面積之間的關系，并說明理由．
（2）園林小路，曲徑通幽，如圖2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石鋪成．已知中間的所有正方形的面積之和是a平方米，內圈的所有三角形的面積之和是b平方米，這條小路一共占地多少平方米．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點C作CM⊥AB于M，過點G作GN⊥EA交EA延長線于N，得出△ABC與△AEG的兩條高，由正方形的特殊性證明△ACM≌△AGN，是判斷△ABC與△AEG面積之間的關系的關鍵；
（2）同（1）道理知外圈的所有三角形的面積之和等于內圈的所有三角形的面積之和，求出這條小路一共占地多少平方米．
解答：解：（1）△ABC與△AEG面積相等．
理由：過點C作CM⊥AB于M，過點G作GN⊥EA交EA延長線于N，則∠AMC=∠ANG=90°，
∵四邊形ABDE和四邊形ACFG都是正方形，
∴∠BAE=∠CAG=90°，AB=AE，AC=AG，
∵∠BAE+∠CAG+∠BAC+∠EAG=360°，
∴∠BAC+∠EAG=180°，
∵∠EAG+∠GAN=180°，
∴∠BAC=∠GAN，
在△ACM和△AGN中，
，
∴△ACM≌△AGN，
∴CM=GN，
∵S_△ABC=AB•CM，S_△AEG=AE•GN，
∴S_△ABC=S_△AEG，

（2）由（1）知外圈的所有三角形的面積之和等于內圈的所有三角形的面積之和．
∴這條小路的面積為（a+2b）平方米．
點評：本題要利用正方形的特殊性，巧妙地借助兩個三角形全等，尋找三角形面積之間的等量關系，解決問題．由正方形的特殊性證明△ACM≌△AGN，是判斷△ABC與△AEG面積之間的關系的關鍵．