【題目】如圖，在正方形ABCD中，點E在邊CD上(不與點C，D重合)，連接AE，BD交于點F.
（1）若點E為CD中點，AB＝2
，求AF的長.
（2）若
∠AFB＝2，求
的值.
（3）若點G在線段BF上，且GF＝2BG，連接AG，CG，設
＝x，四邊形AGCE的面積為
，
ABG的面積為
，求
的最大值.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
.
【解析】
（1）由
可得DE的長，利用勾股定理可得AE的長，又易證
，由相似三角形的性質可得
，求解即可得；
（2）如圖（見解析），連接AC與BD交于點O，由正方形的性質可知，
，
，設
，在
中，
可求出
，從而可得DF和BF的長，即可得出答案；
（3）設正方形的邊長
，可得DE、AO、BO、BD的長，由可得BF的長，又根據
可得BG的長，從而可得
的面積
，用正方形的面積減去三個三角形的面積可得四邊形AGCE的面積
，再利用二次函數的性質求解
的最大值.
（1）
為CD中點，
，
，即
又
；
（2）如圖，連接AC與BD交于點O
由正方形的性質得，
設
在中，
，
；
（3）設正方形的邊長，則
由（1）知，
又
又
又
由二次函數圖象的性質得：當
時，有最大值，最大值為.
激活思維優加課堂系列答案
活力試卷系列答案科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】閱讀理解：給定一個矩形，如果存在另一個矩形，它的周長和面積分別是已知矩形的周長和面積的一半，則這個矩形是給定矩形的“減半”矩形．如圖矩形
是矩形ABCD的“減半”矩形．
請你解決下列問題：
（1）當矩形的長和寬分別為1,2時，它是否存在“減半”矩形？請作出判斷，并請說明理由;
（2）邊長為
的正方形存在“減半”正方形嗎？如果存在，求出“減半”正方形的邊長；如果不存在，說明理由.
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系中，已知拋物線
（b，c為常數）的頂點為P，等腰直角三角形ABC的頂點A的坐標為（0，﹣1），C的坐標為（4，3），直角頂點B在第四象限．
（1）如圖，若該拋物線過A，B兩點，求該拋物線的函數表達式；
（2）平移（1）中的拋物線，使頂點P在直線AC上滑動，且與AC交于另一點Q．
（i）若點M在直線AC下方，且為平移前（1）中的拋物線上的點，當以M、P、Q三點為頂點的三角形是等腰直角三角形時，求出所有符合條件的點M的坐標；
（ii）取BC的中點N，連接NP，BQ．試探究
是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】閱讀材料，解決問題：
材料1：在研究數的整除時發現：能被5、25、125、625整除的數的特征是：分別看這個數的末一位、末兩位、末三位、末四位即可，推廣成一條結論；末
位能被
整除的數，本身必能被整除，反過來，末位不能被整除的數，本身也不可能被整除，例如判斷992250能否被25、625整除時，可按下列步驟計算：
，
為整數，
能被25整除
，
不為整數，不能被625整除
材料2：用奇偶位差法判斷一個數能否被11這個數整除時，可把這個數的奇位上的數字與偶位上的數字分別加起來，再求它們的差，看差能否被11整除，若差能被11整除，則原數能被11整除，反之則不能.
（1）若
這個三位數能被11整除，則
；在該三位數末尾加上和為8的兩個數字，讓其成為一個五位數，該五位數仍能被11整除，求這個五位數
（2）若一個六位數p的最高位數字為5，千位數字是個位數字的2倍，且這個數既能被125整除，又能被11整除，求這個數．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在△ABC中，AD是角平分錢，點E在AC上，且∠EAD=∠ADE．
（1）求證：△DCE∽△BCA；
（2）若AB=3，AC=4．求DE的長．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】湘潭市繼2017年成功創建全國文明城市之后，又準備爭創全國衛生城市．某小區積極響應，決定在小區內安裝垃圾分類的溫馨提示牌和垃圾箱，若購買2個溫馨提示牌和3個垃圾箱共需550元，且垃圾箱的單價是溫馨提示牌單價的3倍．
（1）求溫馨提示牌和垃圾箱的單價各是多少元？
（2）該小區至少需要安放48個垃圾箱，如果購買溫馨提示牌和垃圾箱共100個，且費用不超過10000元，請你列舉出所有購買方案，并指出哪種方案所需資金最少？最少是多少元？
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）求該拋物線的對稱軸以及頂點坐標；
（3）設（1）中的拋物線上有一個動點P，當點P在該拋物線上滑動到什么位置時，滿足S△PAB=8，并求出此時P點的坐標．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12，四邊形EFPQ是矩形，點P與點C重合，點Q、E、F分別在BC、AB、AC上（點E與點A、點B均不重合）．
（1）當AE＝8時，求EF的長；
（2）設AE＝x，矩形EFPQ的面積為y．
①求y與x的函數關系式；
②當x為何值時，y有最大值，最大值是多少？
（3）當矩形EFPQ的面積最大時，將矩形EFPQ以每秒1個單位的速度沿射線CB勻速向右運動（當點P到達點B時停止運動），設運動時間為t秒，矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數關系式，并寫出t的取值范圍．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】已知二次函數y= x2－4x＋3．
（1）把這個二次函數化成
的形式并寫出拋物線的頂點坐標；
（2）畫出這個二次函數的圖象，并利用圖象直接寫出當y>0時，x的取值范圍． 當x取何值時，y隨x的增大而減�。�
（3）若拋物線與
軸的交點記為A，B，該圖象上存在一點C，且△ABC的面積為3，求點C的坐標．
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