Question

【題目】已知：拋物線C1：y=x2﹣2a x+2a+2 頂點(diǎn)P在另一個(gè)函數(shù)圖象C2上
（1）求證：拋物線C1必過定點(diǎn)A（1，3）；并用含的a式子表示頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)拋物線C1的頂點(diǎn)P達(dá)到最高位置時(shí)，求拋物線C1解析式；并判斷是否存在實(shí)數(shù)m、n，當(dāng)m≤x≤n時(shí)恰有3m≤y≤3n，若存在，求出求m、n的值；若不存在，說明理由；
（3）拋物線C1和圖象C2分別與y軸交于B、C點(diǎn)，當(dāng)△ABC為等腰三角形，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵當(dāng)x=1時(shí)，y=1﹣2a+2a+2=3，

∴拋物線C1必過定點(diǎn)A（1，3），

∵拋物線C1：y=x2﹣2ax+2a+2=（x﹣a）2﹣a 2+2a+2，

∴頂點(diǎn)P（a，﹣a 2+2a+2）

（2）解：∵yP=﹣a 2+2a+2=﹣（a﹣1）2+3≤3

∴當(dāng)a=1時(shí)，P達(dá)到最高位置（1，3）

此時(shí)拋物線C1解析式為y=x2﹣2x+4，

∴y=x2﹣2x+4=（x﹣1）2+3≥3，

∵當(dāng)m≤x≤n時(shí)恰有3m≤y≤3n，

∴3≤3m≤y≤3n，

∴1≤m≤n，

∴當(dāng)1≤m≤x≤n，y隨x的增大而增大，

∴當(dāng)x=m時(shí)，y=3m，當(dāng)x=n時(shí)，y=3n，

則 ，

解得： ，

∵1≤m≤n，

∴m=1、n=4；

（3）解：∵拋物線C1：y=x2﹣2ax+2a+2與y軸交于B點(diǎn)

∴B（0，2a+2）

∵函數(shù)yP=﹣x 2+2x+2圖象C2與y軸交于C點(diǎn)

∴C（0，2）

∵A（1，3）

∴由勾股定理得AC= ，BC=|2a|，AB2=（2a﹣1）2+1

∵△ABC為等腰三角形，

∴①AC=BC ②BC2=AB2 ③AC2=AB2

∴ =|2a|或4a2=（2a﹣1）2+1或2=（2a﹣1）2+1，

∴ 或 或a=1或a=0（B與C重合，舍去），

即a=± 或a= 或a=1

【解析】（1）因?yàn)楫?dāng)x=1時(shí)，拋物線的值是3，所以拋物線C1必過定點(diǎn)A（1，3），用配方法寫出拋物線的頂點(diǎn)式即可；（2）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式得出P點(diǎn)達(dá)到最高位置的坐標(biāo)，求出拋物線C1的解析式，通過分析討論求出m、n的值；（3）由拋物線C1與y軸交于B點(diǎn)，得到B點(diǎn)坐標(biāo)的表達(dá)式，由拋物線C2與y軸交于C點(diǎn)，得到C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求出AC、BC、AB2的值，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，△ABC為等腰三角形求出a的值，此題是綜合題，難度較大，計(jì)算和解方程時(shí)需認(rèn)真仔細(xì).