Question

如圖，E是正方形ABCD中CD邊上一點．把△ADE繞點A順時針旋轉90°后得到△ABF，G是BC邊上一點，且∠EAG=45°，連接GE．
（1）觀察△AFG和△AEG，你發現△AFG和△AEG有什么關系？請說明理由．
（2）若AB=1，EG=

5

6

，求△CEG的周長和面積．

Answer 1

分析：（1）連接EF，根據正方形的角都是直角證明∠EAG=∠FAG，然后在△AEF中利用三線合一定理即可得到AG垂直平分EF，則△AFG和△AEG是關于直線AG的軸對稱圖形；
（2）S_{四邊形AFCE}=S_{正方形ABCD}，求得△AGE和△AFG的面積，則根據S_△CEG=S_{四邊形AFCE}-2S△AFG=S_{正方形ABCD}-2S_△AFG即可求解．

解答：解：（1）連接EF．
∵△ABF是△ADE繞點A順時針旋轉90°后得到的，
∴AE=AF，DE=BF，∠DAE=∠BAF，
又∵∠EAG=45°，
∴∠DAE+∠BAG=45°，∠BAF+∠BAG=∠FAG=45°，
∴∠EAG=∠FAG，
在△AEF中，AE=AF，∠EAG=∠FAG，
∴AG垂直平分EF，即點E、F是關于AG的對稱點．
∴△AFG和△AEG是關于直線AG的軸對稱圖形．
（2）∵△AFG和△AEG是關于直線AG的軸對稱圖形．
∴△AFG≌△AEG，
∴FG=EG，
又∵C_△CEG=EG+GC+EC=FG+GC+EC=（BG+GC）+（FB+EC）=（BG+GC）+（DE+EG）=1+1=2．
∵△ABF≌△ADE，△AFG≌△AEG，
∴S_{四邊形AFCE}=S_{正方形ABCD}，
S_△AFG=

1

2

FG•AB=

1

2

EG•AB=

1

2

×

5

6

×1=

5

12

，
∴S_△CEG=S_{四邊形AFCE}-2S_△AFG=S_{正方形ABCD}-2S_△AFG=1-2×

5

12

=1-

5

6

=

1

6

．

點評：本題考查了圖形的旋轉，正確證明△AFG≌△AEG，理解S_△CEG=S_{四邊形AFCE}-2S_△AFG=S_{正方形ABCD}-2S_△AFG是關鍵．