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9.如圖,△AOB是等腰三角形,頂點A的坐標為(2,$\sqrt{5}$),底邊OB在x軸上,將△AOB繞點B按順時針方向旋轉一定的角度后的△A'O'B',點A的對應點A'在x軸上,則點O'的坐標為( 。
A.($\frac{20}{3}$,$\frac{10}{3}$)B.($\frac{16}{3}$,$\frac{{4\sqrt{5}}}{3}$)C.($\frac{20}{3}$,$\frac{{4\sqrt{5}}}{3}$)D.($\frac{16}{3}$,$4\sqrt{3}$)

分析 過點A作AC⊥OB于C,過點O′作O′D⊥A′B于D,根據點A的坐標求出OC、AC,再利用勾股定理列式計算求出OA,根據等腰三角形三線合一的性質求出OB,根據旋轉的性質可得BO′=OB,∠A′BO′=∠ABO,然后解直角三角形求出O′D、BD,再求出OD,然后寫出點O′的坐標即可.

解答 解:如圖,過點A作AC⊥OB于C,過點O′作O′D⊥A′B于D,
∵A(2,$\sqrt{5}$),
∴OC=2,AC=$\sqrt{5}$,
由勾股定理得,OA=$\sqrt{{OC}^{2}{+AC}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}{+(\sqrt{5})}^{2}}$=3,
∵△AOB為等腰三角形,OB是底邊,
∴OB=2OC=2×2=4,
由旋轉的性質得,BO′=OB=4,∠A′BO′=∠ABO,
∴O′D=4×$\frac{\sqrt{5}}{3}$=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$,
BD=4×$\frac{2}{3}$=$\frac{8}{3}$,
∴OD=OB+BD=4+$\frac{8}{3}$=$\frac{20}{3}$,
∴點O′的坐標為($\frac{20}{3}$,$\frac{4\sqrt{5}}{3}$),
故選:C.

點評 本題考查了坐標與圖形變化-旋轉,主要利用了勾股定理,等腰三角形的性質,解直角三角形,熟記性質并作輔助線構造出直角三角形是解題的關鍵.

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