Question

如圖，已知過點（

3

2

，-

7

4

）的直線y=kx+b與x軸、y軸的交點分別為A、B，且經過第一、三、四象限，它與拋物線y=x²-4x+3只有一個公共點．
（1）求k的值；
（2）設拋物線的頂點為P，求點P到直線AB的距離d．

Answer 1

分析：（1）由于點（

3

2

，一

7

4

）在直線y=kx+b上，則此點坐標滿足該一次函數解析式，將其代入即可求出k、b的關系式；用k代替b后，聯立拋物線的解析式，可得關于x的一元二次方程，由于兩個函數只有一個公共點，那么方程的根的判別式△=0，可據此求出k的值．
（2）根據k的值，可確定直線的解析式，進而可求出A、B的坐標，也就能得到△OAB的面積；可連接OP、AP、BP，將△AOB分成△OPA、△OPB、△APB三部分，P點坐標易求得，即可得到△OPA和△OPB的面積，用d表示出△APB的面積，根據上面所得四個三角形的面積關系式，即可求出d的值．

解答：解：（1）∵直線過點（

3

2

，-

7

4

），
∴-

7

4

=

3

2

k+b，
即b=-

7

4

-

3

2

k；
∴y=kx-

3

2

k-

7

4

，
由

y=kx- 3 2 k- 7 4 y=x2-4x+3

消去y，得：
x²-（4+k）x+（

3

2

k+

19

4

）=0，
∵直線與拋物線只有一個公共點，
∴△=（4+k）²-4（

3

2

k+

19

4

）=0，
解得：k=1或k=-3；
∵直線過第一、三、四象限，
∴k＞0，
即k=1．

（2）由k=1，知直線AB的解析式為y=x-

13

4

；
令y=0，得x=

13

4

；
令x=0，得y=-

13

4

；
∴A（

13

4

，0），B（0，-

13

4

），
∴AB=

OA2+OB2

=

13 2

4

；
連接PO、PA、PB，易知拋物線頂點P（2，-1），
由S_△APO+S_△BPO+S_△APB=S_△ABO，得：

1

2

OA•1+

1

2

OB•2+

1

2

AB•d=

1

2

OA•OB，
∴d=

OA•OB-OA-2OB

AB

=

2

8

，
∴點P到直線AB的距離為

2

8

．

點評：此題考查了函數圖象交點、根的判別式以及圖形面積的求法等，難度適中．