Question

在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=8cm，CD=2cm，AD=BC=6cm，M、N為同時從A點出發的兩個動點，點M沿A?D?C?B的方向運動，速度為2cm/秒；點N沿A?B的方向運動，速度為1cm/秒．當M、N其中一點到達B點時，點M、N運動停止．設點M、N的運動時間為x秒，以點A、M、N為頂點的三角形的面積為ycm²．
（1）試求出當0＜x＜3時，y與x之間的函數關系式；
（2）試求出當4＜x＜7時，y與x之間的函數關系式；
（3）當3＜x＜4時，以A、M、N為頂點的三角形與以B、M、N為頂點的三角形是否有可能相似？若相似，試求出x的值；若不相似，試說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可證∠A=60?，進而由三角函數可求△AMN的面積即y=x²．
（2）過點M作MG⊥AB，垂足為G．可證△MGB∽△CFB，即求GM=（7-x），所以△AMN的面積即y=x-x²．
（3）當3＜x＜4時，以A，M，N為頂點的三角形與以B，M，N為頂點的三角形不可能相似．
當x=3時，動點M與點D重合時，動點N恰好與點E重合，此時∠MNA=90?．
當3＜x＜4時，∠MNA必為鈍角．則∠MNA≠∠MNB，而∠MNA=∠NMB+∠MBN，因此，△AMN與△BMN不可能相似．
解答：解：（1）如圖①，過D作DE⊥AB，垂足為E；過C作CF⊥AB，垂足為F．
∴CD=EF=2．
∵AD=BC，DE=CF，
∴Rt△ADE≌Rt△BCF．
∴AE=BF=3．（1分）
在Rt△ADE中，AD=6，AE=3，
∴∠ADE=30?，∠A=60?
∴在△AMN中，AN=x，高為2x•sin60°=x．
∴y=•x•x．即y=x²．

（2）如圖②，過點M作MG⊥AB，垂足為G．
∵MG∥CF，
∴△MGB∽△CFB．
∴GM：CF=BM：BC．
∵CF=DE=，
∴GM：3=（6+2+6-2x）：6．
∴GM=（7-x）．
∴y=（7-x）．
即y=x-x²．

（3）當3＜x＜4時，以A，M，N為頂點的三角形與以B，M，N為頂點的三角形不可能相似．
當x=3時，動點M與點D重合時，動點N恰好與點E重合，此時∠MNA=90?．
當3＜x＜4時，∠MNA必為鈍角．則∠MNA≠∠MNB，而∠MNA=∠NMB+∠MBN，因此，△AMN與△BMN不可能相似．
點評：本題結合梯形的性質考查二次函數的綜合應用，注意某個圖形無法解答時，常常放到其他圖形中，利用圖形間的“和差“關系求解．本題還考查了相似三角形的判定以及勾股定理的運用．