Question

已知：點A（6，0），B（0，3），線段AB上一點C，過C分別作CD⊥x軸于D，作CE⊥y軸于E，若四邊形ODCE為正方形．
（1）求點C的坐標；
（2）若過點C、E的拋物線y=ax²+bx+c的頂點落在正方形ODCE內（包括四邊形上），求a的取值范圍；
（3）在（2）題的拋物線中與直線AB相交于點C和另一點P，若△PEC∽△PBE，求此時拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據待定系數法可以求出AB的解析式．C點的橫縱坐標相等，因而可以設坐標是（a，a）．代入直線AC的解析式，就可以求出C的坐標．
（2）C、E的坐標已得到，把這兩點的坐標代入函數的解析式，就可以得到a，b，c的兩個關系式，頂點落在正方形ODCE內，即頂點的縱坐標一定大于或等于0且小于2．就可以得到a的范圍．
（3）直線AB的解析式可以求得是，過點P作PH⊥EB于點H，易證△PEH∽△CBE，可設P（m，-2m+2），根據P在直線AB上，可以求出P（），根據待定系數法就可以求出函數的解析式．
解答：解：（1）設直線AB的函數解析式：y=kx+b
則，
解得，
∴．（2分）
由題意可設C（a，a），則有，
解得a=2，
∴C（2，2）．（3分）

（2）由（1）可得E（0，2）
∵拋物線的頂點在正方形內，且過C，E兩點，
∴a＞0，且拋物線的對稱軸為x=1，（14分）
∵，
即b=-2a，
∴頂點縱坐標；．（5分）
∴由題意得0≤2-a＜2，
解得0＜a≤2．（6分）

（3）∵△PEC∽△PBE
∴，∠PEB=∠ECB．（8分）
過點P作PH⊥EB于點H，可知△PEH∽△CBE
∴
∴可設P（m，-2m+2）
∵P在直線上，
∴，
解得（10分）
∴P（），
設拋物線y=a（x-1）²+k，可知．
解得，
∴．（12分）
點評：本題主要考查了待定系數法求函數的解析式．以及相似三角形的性質，對應邊的比相等．