Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標為Q（2，﹣1），且與y軸交于點C（0，3），與x軸交于A、B兩點（點A在點B的右側），點P是該拋物線上一動點，從點C沿拋物線向點A運動（點P與A不重合），過點P作PD∥y軸，交AC于點D．

（1）求該拋物線的函數關系式；
（2）設P（x，y），PD的長度為l，求l與x的函數關系式，并求l的最大值；
（3）當△ADP是直角三角形時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線的頂點為Q（2，﹣1），

∴設y=a（x﹣2）2﹣1，

將C（0，3）代入上式得3=a（0﹣2）2﹣1，

解得：a=1，

∴y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3

（2）

解：令y=0，得x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3，

∵點A在點B的右邊，

∴A （3，0），B（1，0）

設直線AC的函數關系式為y=mx+n，

將A（3，0），C（0，3）代入上式得， ，解得： ，

∴y=﹣x+3．

∵D在y=﹣x+3上，P在y=x2﹣4x+3上，且PD∥y軸，

∴D（x，﹣x+3），P（x，x2﹣4x+3），

∴l=PD=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=

∴當 時，l取得最大值為

（3）

解：分兩種情況：

①當點P為直角頂點時，如圖1，點P與點B重合，

由（2）可知B（1，0），

∴P（1，0）．

②當點A為直角頂點時，如圖2，

∵OA=OC，∠AOC=90°，

∴∠OAD=45°，

當∠DAP=90°時，∠OAP=45°，

∴AO平分∠DAP，

又∵PD∥y軸，

∴PD⊥AO，

∴P與D關于x軸對稱，

∵D（x，﹣x+3），P（x，x2﹣4x+3），

∴（﹣x+3）+（x2﹣4x+3）=0，

整理得x2﹣5x+6=0，

∴x1=2，x2=3（舍去），

當x=2時，y=x2﹣4x+3=22﹣4×2+3=﹣1，

∴P的坐標為P（2，﹣1）．

∴滿足條件的P點坐標為P（1，0），P（2，﹣1）

【解析】（1）設y=a（x﹣2）2﹣1，將C（0，3）代入求得a的值，從而得到拋物線的解析式；（2）令y=0，得x2﹣4x+3=0，求得方程方程的解，從而可得到點A、B的坐標，設直線AC的函數關系式為y=mx+n，將A（3，0），C（0，3）代入可求得m、n的值，故此可得到AC的解析式為y=﹣x+3上，設D（x，﹣x+3），P（x，x2﹣4x+3），然后依據l=Dy﹣Py列出l與x的函數關系式，依據二次根式的性質可求得PD的最大值；（3）①當點P為直角頂點時，點P與點B重合，②當點A為直角頂點時，可證明∠DAO=∠PAO，然后可證明點D與P關于x軸對稱，設D（x，﹣x+3），P（x，x2﹣4x+3），依據關于x軸對稱點的縱坐標互為相反數可列出關于x的方程，從而可求得x的值，故此可求得點P的坐標．
【考點精析】關于本題考查的二次函數的性質，需要了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．