Question

如圖，已知直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，過點C作CA₁⊥AB，垂足為A₁，再過A₁作A₁C₁⊥BC，垂足為C₁；過C₁作C₁A₂⊥AB，垂足為A₂，再過A₂作A₂C₂⊥BC，垂足為C₂；…，這樣一直做下去，得到了一組線段CA₁，A₁C₁，C₁A₂，…，則第1條線段A₁C=________，第2n條線段A_nC_n=________．

Answer 1

    （）²ⁿ
分析：先根據勾股定理計算出AB=，易證得Rt△CAB∽Rt△A₁AC，利用相似比計算出A₁C=；再利用Rt△CAB∽Rt△C₁CA₁，計算出A₁C₁=（）²，
同理可得A₂C₂=（）⁴，A₃C₂=（）⁵，A₃C₃=（）⁶，由此可得到A_nC_n=（）²ⁿ．
解答：∵∠ACB=90°，AC=1，BC=2，
∴AB==，
∵CA₁⊥AB，
∴∠CA₁A=90°，
而∠CAB=∠A₁AC，
∴Rt△CAB∽Rt△A₁AC，
∴=，
∴A₁C=，
同理可證明Rt△CAB∽Rt△C₁CA₁，
∴=，即=，
∴A₁C₁=（）²，
同理可得A₂C₁=（）³，
A₂C₂=（）⁴，
A₃C₂=（）⁵，
A₃C₃=（）⁶，
∴A_nC_n=（）²ⁿ．
故答案為，（）²ⁿ．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質：有兩組角對應相等的兩個三角形相似；相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等．也考查了勾股定理和規律型問題的解決方法．