Question

4．如圖，已知⊙O是以數軸的原點O為圓心，半徑為1的圓，∠AOB=45°，點P在數軸上運動，若過點P且與OA平行的直線與⊙O有公共點，設OP=x，則x的取值范圍是0＜x≤$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據題意，知直線和圓有公共點，則相切或相交．相切時，設切點為C，連接OC．根據等腰直角三角形的直角邊是圓的半徑1，求得斜邊是$\sqrt{2}$，所以x的取值范圍是0≤x≤$\sqrt{2}$．

解答 解：設切點為C，連接OC，則圓的半徑OC=1，OC⊥PC，
∵∠AOB=45°，OA∥PC，
∴∠OPC=45°，
∴PC=OC=1，
∴OP=$\sqrt{2}$，
同理，原點左側的距離也是$\sqrt{2}$，且線段是正數，
∴x的取值范圍是0＜x≤$\sqrt{2}$．
故答案為：0＜x≤$\sqrt{2}$．

點評 此題主要考查了直線與圓的位置關系，分別得出兩圓與圓相切時求出OP的長是解決問題的關鍵，難度一般，注意兩個極值點的尋找．