Question

【題目】古希臘的畢達哥拉斯學派由古希臘哲學家畢達哥拉斯所創立，畢達哥拉斯學派認為數是萬物的本原，事物的性質是由某種數量關系決定的，如他們研究各種多邊形數：記第n個k邊形數N(n，k)＝n2＋n(n≥1，k≥3，k、n都為整數)，

如第1個三角形數N(1，3)＝×12＋×1＝1；

第2個三角形數N(2，3)＝×22＋×2＝3；

第3個四邊形數N(3，4)＝×32＋×3＝9；

第4個四邊形數N(4，4)＝×42＋×4＝16.

(1)N(5，3)＝________，N(6，5)＝________；

(2)若N(m，6)比N(m＋2，4)大10，求m的值；

(3)若記y＝N(6，t)－N(t，5)，試求出y的最大值．

Answer 1

【答案】（1）15；51；（2）7；（3）當t＝5時，y有最大值，其最大值為16.

【解析】試題分析：（1）根據N（n，k）的定義，求出N（5，3），N（6，5）的值即可．
（2）根據N（m，6）比N（m+2，4）大10，列出方程即可解決問題．
（3）首先根據y=N（6，t）-N（t，5），構建二次函數，然后根據二次函數的性質即可解決問題．

試題解析：（1）N（5，3）=×52+×5
=12.5+2.5
=15，
N（6，5）=×62+×6
=54-3
=51，

（2）∵N（m，6）比N（m+2，4）大10，
∴×m2+×m-×（m+2）2-×（m+2）=10，
∴2m2-m-（m+2）2=10，
整理，可得
m2-5m-14=0，
解得m=7或m=-2．
（3）y=N（6，t）-N（t，5）
=×62+×6-×t2-×t
=18t-36+12-3t-1.5t2+0.5t
=-1.5（t- ）2+，
∵r≥1，t≥3，k，n都為整數，-1.5＜0，
∴t=5時，y有最大值，最大值為16，
∴y的最大值為16．