Question

47、探究題．
（1）計算下列各題：
①（x-1）（x+1）；
②（x-1）（x²+x+1）；
③（x-1）（x³+x²+x+1）；
④（x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）；
…
（2）猜想：（x-1）（xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x+1）的結果是什么？
（3）證明你的猜想是否正確．

Answer 1

分析：可以用多項式乘以多項式驗證想法，得出
（1）中答案；
（2）根據規律猜想出結果為xⁿ⁺¹-1；
（3）利用多項式乘以多項式的方法進行計算，展開后可知中間的項會相互抵消，只剩下第一項和最后一項．

解答：解：
（1）①（x-1）（x+1）=x²-1；
②（x-1）（x²+x+1）=x³-1；
③（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1；
④（x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）=x⁵-1．

（2）（x-1）（xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x+1）=xⁿ⁺¹-1．

（3）原式=xⁿ⁺¹+xⁿ+x^n-1+…+x²+x-xⁿ-x^n-1-…-x-1=xⁿ⁺¹-1．

點評：本題是個閱讀材料題，要會從所給出的數列中找到它們的規律．主要考查了學生的歸納總結能力．