Question

探究題：可直接寫結果
觀察下列式子：（x²-1）÷（x-1）=x+1；
（x³-1）÷（x-1）=x²+x+1；
（x⁴-1）÷（x-1）=x³+x²+x+1
（x⁵-1）÷（x-1）=x⁴+x³+x²+x+1
（1）你能得到一般情況下（xⁿ-1）÷（x-1）的結果嗎？（n為正整數）
（2）根據（1）的結果計算：1+2+2²+2³+2⁴+…+2⁶²+2⁶³．

Answer 1

解：（1）（xⁿ-1）÷（x-1）=x^n-1+x^n-2+…+x+1；

（2）1+2+2²+2³+2⁴+…+2⁶²+2⁶³=（2⁶⁴-1）÷（2-1）=2⁶⁴-1．
分析：（1）根據已知的式子可得到的式子是關于x的一個式子，最高次數是n-1，共有n項；
（2）把2當作x，即可把所求的式子看成是兩個二項式的商的形式，逆用（1）的結果即可求解．
點評：本題考查了多項式與單項式的除法法則，正確理解已知式子的特點是關鍵．