Question

（2013•太原二模）如圖（1），點F是正方形ABCD的邊AB上一點，以AF為邊在正方形的外部作△AEF，使∠AFE=90°，AF=FE，點O是線段CE的中點，連接OB，OF，請探究線段OB，OF的數量關系和位置關系．
小穎的思路：延長FO交BC于點G，通過構造全等三角形解決．
（1）請按小穎的思路解決圖（1）中的問題：
①證明：△EOF≌COG；
②直接寫出OB，OF的位置關系為

OB⊥OF

，數量關系為

OB=OF

．
（2）將圖（1）中的△AEF繞點A旋轉，使AE落在對角線CA的延長線上，其余條件都不變，請寫出此時OB，OF的數量關系和位置關系，并證明；
（3）將圖（2）中的正方形變為菱形，其中∠ABC=60°，將等腰△AEF的頂角變為120°，其余條件都不變，此時線段OB，OF的位置關系為

OB⊥OF

，

OB

OF

=

3

．

Answer 1

分析：（1）延長FO交BC于G，由條件可以得出EF∥BC，就可以得出∠FEO=∠GCO，可以得出△FEO≌△GCO，就有EF=GC，FO=GO，從而得出BF=BG，就有BO=OF，BO⊥OF而得出結論；
（2）延長FO交BC于G，由條件可以得出EF∥DC，就可以得出∠FEO=∠GCO，可以得出△FEO≌△GCO，就有EF=GC，FO=GO，再由正方形的性質就可以得出△BAF≌△BDG，從而得出BF=BG，∠ABF=∠CBG，得出△GFB是等腰直角三角形，就有BO=OF，BO⊥OF而得出結論；
（3）過點C作CG∥EF交FO的延長線于點G，就可以得出△FEO≌△GCO，就有EF=GC，FO=GO，再由菱形的性質就可以得出△BAF≌△BDG，從而得出BF=BG，∠ABF=∠CBG，得出△GFB是等邊三角形，就有BO⊥OF，

OB

OF

的值．

解答：解：（1）①∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°∠BAC=∠BCA=45°．
∵∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠ABC，
∴EF∥BC，
∴∠FEO=∠GCO．∠EFO=∠CGO．
∵O是線段CE的中點，
∴EO=CO．
在△FEO和△GCO中，

∠FEO=∠GCO ∠EFO=∠CGO EO=CO

，
∴△FEO≌△GCO（AAS）．
②∵△FEO≌△GCO，
∴EF=CG．FO=GO=

1

2

FG．
∵AF=FE，
∴AF=CG．
∴AB-AF=CB-CG，
∴BF=BG，
∵∠ABC=90°，
∴BO⊥FO，BO=

1

2

FG，
∴BO=FO．
故答案為：BO⊥FO，BO=FO；
（2）BO⊥FO，BO=FO．
理由：延長FO交BC于G，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=∠BAD=∠BAF=90°∠BAC=∠BCA=45°．AB∥CD，
∵∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠ABC，
∴EF∥BA，
∴EF∥CD．
∴∠FEO=∠GCO．∠EFO=∠CGO．
∵O是線段CE的中點，
∴EO=CO．
在△FEO和△GCO中，

∠FEO=∠GCO ∠EFO=∠CGO EO=CO

，
∴△FEO≌△GCO（AAS）．
∴EF=CG．FO=GO=

1

2

FG．
∵AF=FE，
∴AF=CG．
在△BAF和△BDG中

AF=CG ∠BAF=∠BCG AB=CB

∴△BAF≌△BDG（SAS），
∴BF=BG，∠ABF=∠CBG．
∵∠ABG+∠CBG=90°，
∴∠ABF+∠ABG=90°，
即∠FBG=90°，
∴BO⊥FO，BO=

1

2

FG，
∴BO=FO．
（3）過點C作CG∥EF交FO的延長線于點G，
∴∠FEO=∠GCO．∠EFO=∠CGO．
∵O是線段CE的中點，
∴EO=CO．
在△FEO和△GCO中，

∠FEO=∠GCO ∠EFO=∠CGO EO=CO

，
∴△FEO≌△GCO（AAS）．
∴EF=CG．FO=GO．
∵AF=FE，
∴AF=CG．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD．
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠BCA=60°．
∵AF=EF，∠AFE=120°，
∴∠E=∠EAF=30°，
∴∠BAF=90°，∠GCO=∠FEO=30°，
∴∠ACG=90°，
∴∠BAF=∠BCG．
在∴△BAF和△BDG中

AF=CG ∠BAF=∠BCG AB=CB

，
∴△BAF≌△BDG（SAS）
∴BF=BG，∠ABF=∠CBG．
∵∠ABG+∠CBG=60°，
∴∠ABF+∠ABG=60°，
即∠FBG=60°，
∴△FBG為等邊三角形，
∴BF=BG=FG．
∵FO=GO，
∴BO⊥FO，FB=2FO．
設FO=x，則FB=2x，在Rt△BOF中，由勾股定理，得
BO=

3

x
∴

BO

FO

=

3 x

x

=

3

．
故答案為：BO⊥FO，

3

．

點評：本題考查了等腰直角三角形的判定及性質的運用，正方形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，勾股定理的運用，等邊三角形的判定及性質的運用，解答時證明三角形全等是解答的關鍵．