Question

（1998•上海）已知△ABC中，AB=AC=6，cosB=

1

3

，點O在邊AB上，圓O過點B且分別與邊AB、BC交于點D、E，⊙O與邊AC不相交，又EF⊥AC，垂足為F，設OB=x，CF=y．
（1）求證：直線EF是圓O的切線；
（2）求y關于x的函數解析式，并寫出這個函數的定義域；
（3）當直線DF與圓O相切時，求OB的長．

Answer 1

分析：（1）首先連接OE，由AB=AC=6，易證得OE∥AC，又由EF⊥AC，即可證得直線EF是圓O的切線；
（2）求y關于x的函數關系式，可以證明△BOE∽△BAC，然后由相似三角形的對應邊成比例，可用x表示出BE的長，又由三角函數的性質，即可求得y關于x的函數解析式，當圓與AC相切時可得OB的長，據此即可得到x的取值范圍；
（3）首先連接OE，OF，DE，由EF、DF與⊙O相切，易證四邊形OBCF是等腰梯形，得出OB=CF，得出方程，求出OB的長．

解答：（1）證明：如圖1，連接OE，
∵OE=OB，
∴∠B=∠OEB．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∴∠OEB=∠C．
∴OE∥AC．
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OE．
∵點E在⊙O上，
∴EF是⊙O的切線．

（2）解：如圖2，作AH⊥BC，H為垂足，并連接OE，
∵AB=AC，
∴BH=

1

2

BC，
∵AB=6，cosB=

1

3

，
∴BH=2，
∴BC=4．
∵OE∥AC，
∴△BOE∽△BAC．
∴

BE

BC

=

OE

AC

．
即

BE

4

=

x

6

．
∴BE=

2

3

x．
∴EC=4-

2

3

x．
在Rt△ECF中，cosC=cosB=

1

3

，
∴CF=EC•cosC=（4-

2

3

x）•

1

3

．
∴所求函數的關系式為y=

4

3

-

2

9

x．
如圖3，當⊙0與AC相切時，設切點為G，
連接OE，OG，
∵EF是切線，
∴OE⊥EF，OG⊥AC，
∵EF⊥AC，
∴四邊形OEFG是矩形，
∵OE=OG，
∴四邊形OEFG是正方形，
即EF=OE=x，
∵cosC=

1

3

，
∴sinC=

2 2

3

，
∵在Rt△CEF中，sinC=

EF

EC

=

2 2

3

，
即

x

4- 2 3 x

=

2 2

3

，
解得：x=

216 2 -192

49

，
∴這個函數的定義域為：0＜x＜

216 2 -192

49

；

（3）解：如圖4，連接OE，DE，OF，
∵EF、DF與⊙O相切，
∴FD=FE，∠DFO=∠EFO．
∴OF垂直平分DE．
∵BD是直徑，
∴∠DEB=90°，
∴BC⊥DE．
∴OF∥BC．
∴四邊形OBCF是等腰梯形．
∴OB=CF，
得：

4

3

-

2

9

x=x，
解得：x=

12

11

．
即OB=

12

11

．

點評：本題考查的是切線的判定與性質、切線長定理、相似三角形的判定與性質、正方形的判定與性質、等腰三角形的性質以及三角函數等知識．此題綜合性很強，難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想與方程思想的應用．